20070528

Eleccions matemàtiques

El teorema d'impossibilitat d'Arrow

Preliminars: Sigui K={A,B,C...} un conjunt finit d'alternatives (que podrien ser partits polítics, per exemple), amb més de 3 alternatives. Anomenem una preferència transitiva sobre K és una manera d'ordenar els elements de K, amb empats possibles (per exemple, l'ordre de preferència que tindriem per cada partit polític el dia de les eleccions). Considerem un conjunt de N individus (electors), cadascún amb la seva preferència en el vot. Anomenarem (seguint la manera tradicional de nombrar-ho al teorema) constitució a una funció que assigni a cada conjunt de individus-preferències un cert ordre de preferències, el que seria "l'elecció del poble". Per exemple, la llei d'Hont per l'assignació dels regidors als ajuntaments. Per abreujar, A>(n)B vol dir que el votant n prefereix la opció A abans que la opció B.

Tenim unes certes propietats que voldriem que verifiqués la constitució:
  • Transitivitat: Suposem que tenim unes certes eleccions fetes, i la constitució ens dona que l'elecció popular és A>B. La constitució serà transitiva si, si tornessim a fer les eleccions i UN votant canvies el seu vot A>(n)B per B>(n)A, llavors l'ordre final de l'elecció del poble, o bé no variés, o bé caigués A. El problema que adreça aquesta propietat és que un votant no pugui perjudicar l'elecció d'un partit elegint-lo més amunt que un altre.
  • Unanimitat: Si tothom vota A per sobre de B, l'elecció del poble tindrà A per sobre de B
  • Independència d'alternatives irrellevants: Si estar A per sobre de B a la constitució només es veu afectat per estar A per sobre de B en les eleccions individuals
Direm que la constitució és una dictadura si existeix un invidu n tal que l'elecció del poble posa A per davant de B sempre que n posa A per davant de B. Vaja, que hi ha un individu que és un dictador que estableix la votació.

Teorema d'Arrow: Tota constitució que verifica les tres propietats anteriors és una dictadura.

Aquest teorema seria per establir la composició d'una cambra legislativa, per exemple. Veiem doncs, que és impossible fer-ho adequadament. Què passaria si la constitució només hagués d'elegir, i no ordenar per preferència, un conjunt de candidats?

Teorema de Duggan-Schwartz: Una constitució ideada per elegir un conjunt de candidats d'entre més de tres candidats ha de verificar una de les següents:
  • El sistema no és anònim i per tant els vots de certs electors tenen més pes que el d'altres
  • El sistema imposa que certs candidats mai podràn guanyar
  • El candidat preferit de tots els electors està en el conjunt de guanyadors
  • El sistema és manipulable.
I si només hagués d'elegir un únic candidat?

Teorema de Gibbard-Satterthwaite: Una constitució ideada per elegir un únic candidat d'entre més de tres candidats ha de verificar una de les següents:
  • La constitució és una dictadura,
  • El sistema imposa que certs candidats mai podràn guanyar
  • L'elecció és manipulable.
Què vol dir que l'elecció sigui manipulable? Hi ha diverses maneres de manipular-ho, la definició general seria que un elector que sàpiga les tendències de vot prèviament així com el mètode amb que funciona l'assignació final, pot fer pujar o baixar certs candidats amb el seu vot. Un cas per exemple es dóna a la vida real, quan els de l'esquerra més radical voten a l'esquerra moderada, ja que saben que els radicals tenen pocs números de sortir elegits.
Written by Ruben Berenguel